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DISCIPLINA: TOPOLOGIA DOS ESPAÇOS MÉTRICOS
CÓDIGO: 2109034 CRÉDITOS: 04
PRÉ-REQUISITOS: Análise II
OBJETIVOS:
 
EMENTAS:
Espaços Métricos.Funções Contínuas. Básica da Topologia. Conjuntos Conexos. Limites. Continuidade Uniforme. Espaços Métricos Completos. Espaços Métricos Compactos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE 1 - ESPAÇOS MÉTRICOS. Métricas: Definição de e Espaço Métrico e Subespaços: Exemplos de Espaços Métricos. Produtos de Espaços Métricos. Distância entre Ponto e Conjunto. Distância entre Conjuntos. Diâmetro. Bolas Abertas: Definição de Bola Aberta: Bolas Abertas e Produto Cartesiano de Espaços Métricos. Propriedades Básicas das Bolas Abertas. Métricas e Normas Equivalentes. Seqüências em Espaços Métricos.

UNIDADE 2 - TOPOLOGIA DOS ESPAÇOS MÉTRICOS. Definição de Topologia. Espaço Topológico. Conjuntos Abertos. Conjuntos Fechados. Ponto Aderente e Fecho. Ponto de Acumulação. Proposições sobre Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados.

UNIDADE 3 – CONTINUIDADE. Funções Contínuas. Definição e Exemplos. Proposições sobre continuidade. Operações com Funções Contínuas. Continuidade das Transformações Lineares. Funções Uniformemente Contínuas. Definição e Exemplos. Proposições com Funções Uniformemente Contínuas. Homeomorfismos.

UNIDADE 4 - CONJUNTOS COMPACTOS. Compacidade. Definição e Exemplos. Propriedades dos Conjuntos Compactos. Produto Cartesiano Finito de Espaços Compactos. Continuidade e Compacidade. Compacidade e Continuidade Uniforme. Distância entre Conjuntos Compactos. Abertos e Compactos. A Propriedade de Heine Borel. Existência de um Número de Lebesgue. O Teorema de Cantor-Tychonoy.

UNIDADE 5 - CONJUNTOS CONEXOS. Cisão ou Desconexão. Definição de Conjnunto Conexo. Exemplos. Proposições sobre Conjuntos Conexos. Produto Cartesiano de Conjuntos Conexos. Conexidade na Reta. Teorema do Valor Intermediário. Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em uma Dimensão. Conexidade por Caminhos. Definição e Exemplos. Relação entre Conexidade e Conexidade por Caminhos. Componentes Conexos.

UNIDADE 6 - ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS. Sequências de Cauchy. Definição e Exemplos. Sequências de Cauchy e Continuidade Uniforme. Espaços Métricos Completos. Definição e Exemplos. Espaços de Banach e Hilbert. Definição e Exemplos. Extensão de Funções Contínuas. Extensão de Funções Uniformemente Contínuas. Completamento de um Espaço Métrico. Teorema do Ponto Fixo de Banach e o Método da Aproximação Sucessiva. Teorema dos Fechados Encaixantes. Teorema de Baire. Existência de Funções Contínuas sem Derivada em Ponto algum. Relação entre Espaços Completos e Espaços Compactos. Equivalência entre os vários Conceitos de Espaços Compactos.

UNIDADE 7 - INTRODUÇÃO A TOPOLOGIA. Espaços Topológicos. Definição e Exemplos. Espaços T-1 e Espaços T-2 ou de Hausdorff. Bases Locais. Primeiro Axioma da Enumerabilidade. Bases Globais. Segundo Axioma da Enumerabilidade. Espaços Separáveis. Funções Contínuas..Funções Sequencialmente Contínuas. Propriedades Topológicas de um Espaço em Geral. Espaços Conexos. Espaços Compactos.

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA:
ESPAÇOS MÉTRICOS E INTRODUÇÃO A TOPOLOGIA - Hygino H. Domingues- Ed. Atual
ESPAÇOS MÉTRICOS - Elon Lages Lima, Projeto Euclides,
APLICAÇÕES DA TOPOLOGIA A ANÁLISE - Chaim Samuel Honig- Projeto Euclides
METRIC SPACES - E.T Copson, Cambridge university Press.